VII - Bouquet final

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Aucun manuel n’évite les monstruosités. Nous avons vu qu’à coté des délires consistant à proposer à des élèves de 1ère S en pleine formation des exercices de première voire de seconde année de CPGE, on trouve des soit- disant « utilisations du cours » qui n’ont aucun rapport avec le cours, comme nous en avons montré un exemple à propos de la convergence de la suite 1/n.

Que peut bien penser un élève de la rigueur en mathématiques? Aucun soin, aucune attention. Les rédacteurs sont bien plus préoccupés de tartiner à l’envie des logiciels pour montrer à l’Inspection Générale à quel point ils sont « in », plutôt que de faire attention à la pédagogie de leurs énoncés. Exactement le contraire de ce qui se fait à l’étranger où nous avons pu constater la remarquable qualité pédagogique des manuels notamment allemands, et ce malgré la relative modestie de leur niveau (mais toujours supérieur au français). Nous n’avons fait figurer que quelques exemples mais ils abondent. Or, il n’y a pas un seul chapitre dans aucun manuel français que l’on pourrait montrer à un enseignant étranger sans être mort de honte. Pas un seul. Il n’y a tout simplement plus le moindre enseignement, plus la moindre pédagogie dans les manuels français.

La moindre propriété fondamentale est considérée comme un excès et uniquement proposée en exercice comme ci-dessous l’inégalité triangulaire (exo 129) ou les opérations (exo 130) de la valeur absolue.

Manuel français (cliquez pour agrandir)

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Elle est même tellement accessoire que nous ne l’avons trouvée que dans un seul manuel sur les cinq que nous avons examinés (Bordas). Seulement, qui dit exercice, dit facultatif ; de sorte que la plupart des élèves quitteront le lycée sans même savoir que cette fonction possède des propriétés particulièrement intéressantes. De toute façon, qu’ils les aient vues ou non, les élèves ne les connaîtront pas dans les classes postérieures où il faudra comme toujours totalement définir des notions de base pour qui veut faire des études scientifiques. Sauf que l’enseignement supérieur n’est pas le lieu d’apprentissage des notions de base. Evidemment comme il ne reste rien de la rigueur en analyse, qu’aucune définition mathématiquement correcte n’est au programme, cette propriété absolument fondamentale devient totalement accessoire et constitue un « approfondissement». On se demande bien d’ailleurs pourquoi on conserve cette fonction dans les programmes. L’absurdité devient encore plus perceptible lorsque l’on voit un ouvrage - dans lequel cette inégalité n’est même pas mentionnée dans le cas des réels - demander une preuve dans celui des fonctions numériques.

On notera en passant ce chef-d’œuvre d’imbécillité scientifique concernant Cauchy, que l’on pourrait avec raison nommer le père de l’analyse moderne, et qui d’après le manuel Nathan est un mathématicien ayant simplement introduit la valeur absolue en analyse ! Splendide ! Autant faire de Newton un physicien ayant introduit l’usage du pommier en physique et d’Albert Einstein le savant qui a tiré la langue à un photographe ! Et à part cela le programme indique que « connaître le nom de quelques mathématiciens célèbres, [...] et leur contribution fait partie intégrante du bagage culturel de tout élève ayant une formation scientifique. »

D’un autre coté, on comprend les rédacteurs de manuel ; comme tout est un excès de technicité, on ne peut rien montrer, rien expliquer et conséquemment on ne peut même pas donner une culture en histoire des mathématiques puisqu'il faudrait avoir quand même dans le cours quelque chose de correctement défini pour pouvoir dire que c'est untel qui en est l'auteur. L’histoire des sciences, qui passionne les élèves, à la condition bien sûr qu’ils soient scientifiques, ne fait l’objet en France d’aucun traitement particulier. On a pu se rendre compte sur les exemples précédents de l’indigence des « points d’histoire » frisant parfois l’escroquerie intellectuelle tandis que chez nos voisins ce sont des pages entières qui y sont consacrées. Nous en avons montré un plus haut extrait du manuel belge (cf. Equation du second degré), en voici un allemand extrait du manuel Schroedel sur le calcul intégral. Tous les grands noms attachés à cette théorie y passent ! Depuis Archimède créateur de la méthode d’exhaustion jusqu’à Lebesgue et Nicolas Bourbaki. Ça, c’est ce que l’on appelle contribuer au « bagage culturel de tout élève ayant une formation scientifique. »

Manuel allemand

On ne trouve guère qu’un seul manuel, celui des éditions Belin (parfois Didier) qui évite en général les démences que l’on trouve ailleurs. C’est peu ! Cependant les défauts sont les mêmes partout ! L’abondance fantastique d’exercices de toutes sortes qui résulte de l’absence de cours substantiel et de l’exigence de ne pas fournir de capacité calculatoire ; quasi permanence d’utilisation de la calculatrice ; nous n’avons trouvé qu’un seul manuel (Nathan), un peu plus scrupuleux qui glisse subrepticement en exercice le fait qu’une calculatrice ne donne pas du tout un résultat fiable, et ne permet pas de prouver quoi que ce soit.

Le délire algorithmique et le fourrage d’ordinateur est tel qu’on en arrive à demander l’utilisation d’un logiciel dans des exercices où ils ne sont d’aucune utilité. Nous ne voyons en rien pourquoi la détermination des coordonnées de points d’intersection nécessite un logiciel pas plus que la réponse à la question qui suit.

Manuel français

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Tout aussi scandaleux l’exercice ci-dessous qui devrait en principe entraîner les élèves à manipuler la fonction exponentielle et qui une fois encore n’est qu’un prétexte à utiliser sa prothèse cérébrale. Comment s’étonner dès lors qu’arrivés dans le supérieur les élèves confondent les propriétés de l’exponentielle et du logarithme et que l’on trouve communément l’égalité : ea eb = eab A nouveau, notons le numéro 33 dont le but affiché est de factoriser des expression mais ... avec un logiciel. Surtout priver les élèves de toute pratique.

Manuel français

La pédagogie française marche en pleine incohérence. On peut le mesurer encore sur l’exemple ci-dessous: D’un coté les élèves sont pris pour des demi débiles mentaux auxquels on est obligé de rappeler que x3=x2.x, ainsi que toutes les formules nécessaires (surtout dispenser les élèves de retenir quoi que ce soit), et dont on se demande vraiment ce qu’ils font dans une section scientifique si leur capacité de réflexion en est à ce niveau, et d’un autre coté on propose des énoncés d’un bon niveau de classes préparatoires comme on l’a vu plus haut.

Manuel français

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Parmi les exercices très en vogue parce qu’ils permettent de jouer, on trouve les «jouer au professeur » dans lesquels on demande aux élèves de corriger une solution. Effet pédagogique calamiteux ! Au lieu d’enseigner des connaissances on inverse les rôles en faisant jouer le rôle de maître à des élèves qui sont en train d’apprendre. Imagine-t-on une classe de conservatoire où l’on demanderait aux élèves de corriger des fautes chez les autres ? L’idée qui sous-tend ce genre d’exercices est, pensons nous, qu’en critiquant les autres on espère développer chez l’élève un esprit d’autocritique. C’est ce qui se passe chez l’adulte, mais ce n’est absolument pas le cas dans la pratique chez l’adolescent en lycée. Une fois encore le seul résultat concret est « jouer» ! Partout, on baigne dans le pédaludisme, l’enseignement par le jeu. Comme les enfants aiment jouer, on va les faire jouer et sans qu’ils s’en rendent compte, ils vont apprendre. La pratique quotidienne de l’enseignant a beau prouver le contraire, peu importe. Fidèle à l’idéologie, si les élèves ne savent pas faire quelque chose, c’est qu’ils n’ont pas assez joué et se sont ennuyés! Et non qu’on ne leur a pas appris.

Manuel français

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Alors comme l’on n’apprend plus rien, il faut bien s’occuper, donc on fait des activités «de recherche», s’il vous plaît,... au lieu d’apprendre. Et il faut lire cette page pour « discuter collectivement ». Voilà les mathématiques devenues une « science » de la communication.

Manuel français

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« Les mathématiques » on va en parler ! Il y a quelques temps déjà paraissait cette histoire malheureusement pas très drôle au sujet de l’évolution d’un énoncé de mathématique concernant un sac de pomme de terre et qui finissait par « souligne le mot patate et discutes-en avec ton voisin »... Nous y voilà ! Ce qui n’était qu’une boutade que l’on pensait caricaturale est devenu réalité. On a peut-être souri alors que j’évoquais les sudoku et les mots-fléchés, reste à savoir dans combien de temps on va en trouver dans les manuels.

Combien de temps par chapitre est-il perdu, gaspillé en poudre aux yeux avec de telles activités ? « La main à la pâte » généralisée en version matheuse.

Et pour ceux qui préfèrent travailler en solitaire, nous avons les activités de recherche sur internet. Voilà à quoi est réduit l’enseignement des mathématiques en France.

S’il est en France des personnes qui s’étonnent du manque de goût pour les études scientifiques, nous n’en faisons pas partie car pour nous la cause en est évidente.

Nous avions montré au début quelques bons mots, certains éditeurs vont même jusqu’à proposer des pages d’humour. Il faut bien montrer que « les maths c’est trop fun ! ». On trouve également des pages « métiers ». Pourquoi pas des petites annonces? Rappelons quand même que nous examinons des ouvrages de mathématiques censés former « à la pratique d’une démarche scientifique » les élèves (s’il en reste) désirant « s’engager dans des études supérieures scientifiques, en les formant et en renforçant leur goût pour des activités de recherche. »

Manuel français

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Du tout, du n’importe quoi, du remplissage histoire d’occuper les élèves. Surtout mettre dans les ouvrages un maximum de texte n’ayant rien à faire dans un manuel de mathématiques.

Et dans le même temps, on prend les élèves pour des abrutis comme nous l’avons vu plus haut ou comme on peut s’en apercevoir ci-dessous. On prend une page pour prouver une propriété là où nos voisins n’ont même pas besoin de la moitié.

Manuel français

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On peut comparer ces démonstrations avec celles proposées par les Allemands. Là où le manuel français utilise une page entière pour prouver la formule de dérivation d’un produit il suffit de 5 lignes. Pourtant, rien n’est escamoté ou sous-entendu, tout est parfaitement expliqué. Et l’on pourra comparer la place occupée sur la page complète. Cette propriété élémentaire bénéficiant de la place raisonnable à accorder à une propriété élémentaire, environ un quart de page. Evidemment cela laisse beaucoup plus de place pour expliquer des choses importantes.

Manuel allemand

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Comme on peut s’y attendre, les manuels belges font de même. La présentation y étant, à notre avis, particulièrement pédagogique. Juste l’explication nécessaire là où il est besoin. C’est clair, net, concis, précis en un mot : scientifique. En France, cela tient de la logorrhée. On peut également se pencher sur la page qui précède où l’on établit le signe de la dérivée d’une fonction monotone. La dernière ligne indique : « on a donc t(h) ≥ 0 [...] donc par passage à la limite f’(x)≥0 ». Sauf qu’il y a un léger ennui : le passage à la limite dans les inégalités est ... hors programme ! Il ne figure nulle part dans le cours qui précède, ni dans celui de l’année d’avant.

Nous trouvons pour ce qui nous concerne un peu gênant d’utiliser dans une preuve un résultat qui ne figure pas dans le cours ! Sans doute sommes-nous d’un total archaïsme! Rappelons maintenant ce fait évident pour quiconque a enseigné qu’à trop vouloir expliquer on noie l’auditeur. A trop diluer un exposé il n’en reste rien. C’est précisément ce que fait la « pédagogie » française.

De même, l’équation de la tangente à une courbe ne fait l’objet d’aucune démonstration particulière tout simplement parce que obtenir l’équation d’une droite dont on connaît un point et le coefficient directeur est considéré chez nos voisins comme un acquis du collège ! On demande au plus, aux élèves, de l’écrire. En France il faut presque une demi page ! On peut donc facilement se rendre compte avec ces exemples du niveau supposé des élèves pour ce qui concerne les démonstrations : particulièrement élémentaire. La même remarque peut être faite dans un autre chapitre : celui des suites.

Manuel français

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Nous avouons avoir mis un petit moment à comprendre ce qu’il fallait faire dans la première question ci- contre. On y demande en effet de calculer les cinq premiers termes d’une suite, puis de donner le troisième ( ? ? ?). Devant des questions de ce genre, il nous a été rapporté que beaucoup d’élèves sont totalement pris au dépourvu. Il y a de quoi! Qu’est- ce qu’il faut répondre? Ici recopier la valeur déjà calculée, mais dans d’autres énoncés, les élèves ayant un minimum de capacité cérébrale ne savent pas quoi répondre tant les questions sont idiotes. Dans le cas qui nous occupe tout tient dans l’éternel et permanent mantra « à l’aide de la calculatrice ». Et bien oui! Un élève qui fait cet exercice ne calcule pas les termes, lui, contrairement à ce que nous ferions. C’est comme toujours la prothèse cérébrale qui le fait. L’exercice proposé consiste donc à savoir trouver le troisième nombre dans une liste de cinq! Et voilà! Vous avez fait un exercice de section « scientifique »! Précisons: française!

On pourrait se dire « fort bien, les manuels prennent les élèves par la main et l’on se contente de faire les exercices les plus élémentaires qui soient ». Mais pas du tout! Car, quelques pages après avoir expliqué longuement des éléments du niveau que nous venons d’observer, on trouvera un ramassis d’exercices dont les énoncés ont de quoi laisser pantois quant au niveau du public auquel ils sont censés s’adresser.

Nous avons inséré ci-dessous cinq pages consécutives afin que l’on ne puisse pas s’imaginer que nous en avions choisi une particulièrement sophistiquée. Comme on peut le constater, il s’agit simplement des exercices proposés dans le même chapitre des dérivées que celui des démonstrations vues plus haut. Niveau 1ère S, s’adressant donc à des élèves venant d’acquérir la notion de fonction dérivée et auxquels on a proposé des « applications » et des « démonstrations » du niveau que l’on vient de voir.

Manuel français

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Notons bien qu’ici il ne s’agit QUE d’exercices, les énoncés de problèmes suivent ...

Un pot pourri de tout ce que l’on peut trouver avec une dérivée. Aucune suite dans les idées, aucune permanence dans les contenus ou les méthodes, qui permettrait de se faire la main et d’acquérir une véritable capacité à faire quelque chose ... mais des ordinateurs, et des calculateurs et encore des tableurs et des énoncé d’une page entière juste comme exercice.

Et encore, sommes-nous simplement en classe de Première. On peut alors imaginer ce qui va se passer dans les chapitres de spécialité en Terminale. Là encore nous donnons quelques pages :

Manuel français

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Notons entre autre chose que la formule du binôme dont il est question ci-dessus dans le cas des matrices n’est même pas au programme et ne figure nulle part dans l’ouvrage dans le cas des nombres réels ni des polynômes! C’est ce qui nous a valu l’extraordinaire définition des coefficients du binôme dont nous avions parlé à propos des probabilités.

Nos élèves de Terminale vont donc arriver dans l’enseignement supérieur sans connaître ni savoir utiliser la formule du binôme dans le cas réel, mais il l’auront vue dans le cas des matrices! Le délire que l’on voit est l’illustration de ce que nous disons depuis le début de cette étude. Le cours étant vide et inutilisable, il est impossible de faire les applications simples que font nos voisins comme les compositions de transformations planes. Elles sont hors programme! Tout comme les changements de repères. De surcroît, le modèle « proie-prédateur » est presque un imposé des programmes puisqu’il y est explicitement mentionné comme exemple avec le PageRank et le modèle Erhenfest. C’est l’Inspection générale qui a suggéré ces idées dingues que les rédacteurs suivent! Trois pages de démence pure dans un premier contact avec les matrices...

Nous n’avons pas vraiment abordé les chapitres consacrés à la géométrie mais ils sont évidemment du même genre que les autres On trouve tout, absolument tout dans les exercices et rien dans le cours. C'est ainsi que dans le chapitre consacré au produit scalaire et dans lequel figure l'équation d'un cercle de centre et de rayon donné, on ne trouvera en exercice qu’un seul énoncé demandant l’équation connaissant le centre et le rayon, deux connaissant le centre et un point, trois avec le diamètre. Soit six en tout et pour tout ! et quasiment sans répétition si bien qu’en dehors d’un élève particulièrement rapide aucun ne sait déterminer l’équation d’un cercle faute d’entraînement.

Et à l’inverse seulement quatre exercices du type : l'équation étant connue, trouver le centre et le rayon. Comment veut-on qu’avec une telle indigence, un élève sache faire quoi que ce soit ? Et bien sûr, entourant ce vide, l’élève trouvera des intersections de deux cercles, les tangentes à un cercle passant par un point donné, la propriété de l'orthocentre d'un triangle inscrit dans une hyperbole (si, si, ce n’est pas une blague!), la formule de Héron donnant la surface d'un triangle en fonction de la longueur des cotés, la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle, l'axe radical de deux cercles et même l'étude d'un faisceaux de cercles. On trouve tout!

Partout la même observation : au lieu d’enseigner à bien savoir faire des choses de base on supprime les techniques de base et l’on demande de faire du trapèze volant! Quand aux coniques fondamentales en physique, pas un mot! Hors programme depuis la nuit des temps. En Belgique, en Suisse en Bavière, en Autriche nous avons trouvé les coniques présentées comme section plane d’un cône dans l’espace ainsi que leurs principales propriétés.

Nous n’avons pas examiné assez en détail le chapitre de l’intégration mais si l’on souhaite des données plus chiffrées, il ressort que ce chapitre occupe tout compris 33 pages sur 550 =6% dans l’un de nos manuel français; alors qu’il en occupe 75 sur 500=15% en Belgique et en Allemagne; 46 sur 365=12,5%, ou 50 sur 430 =11.6% (Klett). Bref le double. Un chapitre aussi important que celui-ci, qui sera utile dans toute la suite de n’importe quelle type d’étude scientifique, n’occupe en réalité qu’une place minime.

Nous en avons déjà parlé mais on peut continuer tellement le chapitre d’arithmétique est une monstruosité. Au lieu de parler du crible d'Eratostème, on établit le crible de Matyasevitch, au lieu de faire des divisions euclidiennes et des égalités de Bezout sous toutes les formes, on fera de la détection d’erreur, au lieu de répondre à des quantités de petites questions de congruences, on aura droit à la détermination des valuations p-adique de Q, au problème des deux carrés et à des remarques sur la raréfaction des nombres premiers. On intitulera un exercice « équation de Pell-Fermat » tout cela pour obtenir quasi immédiatement qu’elle est sans solution. Mais, on est content, on a casé des gros mots, un titre bien ronflant sur la façade et rigoureusement rien derrière. Un exercice Potemkine! Exactement comme cette « décomposition de Cholesky » que nous avons rencontrée. Le pire étant que l’on pourrait faire quelque chose de simple avec ces sujets (trouver l’inverse de la matrice dans le cas Cholesky) ou ici résoudre une cas simple d’équation de Pell-Fermat comme 2x2-y2=1 qui est effectivement faisable à peu de frais et conduit à des choses intéressantes via (1+V 2)^n. Quelques exercices de ce type, beaucoup d’exercices de pratique et l’on pourrait avoir un corpus défendable. Mais non, l’objectif est seulement de brasser du vent. Il s’agit toujours de donner l’illusion de faire des choses difficiles avec des choses totalement triviales et la page suivante de demander des choses horriblement difficiles avec un cours totalement indigent! Sur ce chapitre, la comparaison avec les manuels Aleph des années 70 est saisissante. A cette époque où les élèves avaient un niveau extraordinaire et sûrement en moyenne le meilleur du monde, où la France se classait dans les dix meilleures nations aux Olympiades de Mathématiques, où les élèves étaient habitués depuis longtemps à manier des raisonnement compliqués et des objets définis avec la plus totale abstraction, le niveau des exercices étant somme toute bien moindre. C’étaient des exercices faisant réellement manier la notion sous toutes ses formes. Nous avons vérifié que 90% des énoncés tenaient en une à deux lignes. Aujourd'hui la majorité d’entre eux auraient été nommés à l’époque « problème » tellement ils sont démesurés. Les exercices ne sont désormais que des prétextes à caser de la fausse science.

Bertrand Rungaldier

Commentaires

Tout est dit et terriblement

Tout est dit et terriblement vrai. Je suis professeur au maroc en seconde et première S. Je viens d etre admissible aux écrits de capes et suis déja dégoûté à l idée de la futur rentré scolaire.

en Russie c'est la même

en Russie c'est la même chose. merci pour votre article. je l'ai lu avec plasir. et j'ai su beaucoup de choses intéressant pour moi. où on peut lire vos articles?

Que faire avec ces manuels ?

Bonjour,
J'adhère à 100% à ce que vous dîtes sur les manuels. Mais selon vous, ces manuels représentent-ils la pratique des professeurs de Maths ? Quand j'étais élève, de la 6 ème jusqu'à la fin de ma prépa, je n'ai JAMAIS eu à ouvrir un manuel, sauf, éventuellement, pour faire des exercices que le prof nous demandait. Mes profs de maths écrivaient le cours de a à z au tableau, avec TOUTES les démonstrations. C'était "leur" cours, jamais ils ne nous auraient demandé d'aller consulter une démonstration ailleurs. Et j'ai toujours le souvenir de certaines de ces démonstrations, 30 ans plus tard, alors qu'évidemment, rien ne me reste des manuels - ils étaient déjà à l'époque, bien en dessous de ce que nous donnait le professeur.
Qu'en pensez-vous ?
Cordialement,
Thierry