VI - Arithmétique

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En matière d’arithmétique on commence par remarquer que si le pgcd est au programme celui de ppcm ne l’est pas. Comprenne qui pourra... Il n’y a une fois de plus aucune logique mathématique dans les programmes. Seules comptent les occasions de s’amuser à faire de la cryptographie sans connaissance d’arithmétique. Toujours la même procédure, des outils réduits à la survie puis des applications qui ne sont en fait faisables avec ces outils qu’à la condition d’avoir une énorme habitude des notions en question, lesquelles bien sûr ne sont pas présentées.

En fait l’unique objet du pgdc est d’obtenir des entiers premiers entre eux pour faire du codage. Et voilà tout ! Pas du tout de faire des raisonnements d’arithmétique avec les connaissances de base de cette discipline. Tout cela ne sert qu’à jongler avec des tests de primalité et s’amuser avec des cryptages : cryptage affine, exponentiel, de Vigenner, de Hill, RSA. Des gros mots, du brassage de vent, et encore des gros mots et encore du brassage de vent. Et tout ceci alors que les élèves, au dire des collègues, ne sont tellement pas habitués aux congruences qu’ils hésitent à répondre à la question : « un entier est-il nécessairement congrus à lui-même ? » et dans bien des cas répondent « non ! », tellement cette notion est incompréhensible sans une certaine habitude théorique qu’on se garde bien de leur donner. Toujours la même litanie : ne surtout pas donner de base mais jeter de la poudre aux yeux.

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Tout le cours sur les congruences qui prenait des semaines dans les années 70 avec des élèves formés à la plus haute abstraction dès le collège est liquidé en une seule et unique page (ci-dessus). Hop là ! et vous voilà paré pour jongler avec le petit théorème de Fermat et le codage RSA. Vous êtes incapable de savoir ce que vaut 1/3 mod 7 mais ce n’est pas grave du tout ! On obtient ainsi en cycle universitaire ou en CPGE, des élèves qui connaissent les « nombres faiblement cassables » mais ne voient pas du tout pourquoi si x2 est pair alors x l’est aussi ou ou que si x+y=72 avec 5 divisant x, alors 5 ne divise pas y ou encore incapables de réduire au même dénominateur 3/20-7/30+2/5 et donneront bien souvent 950/3000 SANS SIMPLIFIER même par 10 tellement l’idée de simplifier des facteurs communs est une idée qui leur est étrangère (c’est bien normal puisqu’elle n’est jamais mise en pratique). Cette absence de capacité à simplifier les fractions est une source d’erreur permanente car la taille des nombres grandit évidemment à mesure des calculs.

Il faut tellement sauter du coq à l’âne qu’il est impossible à un élève d’acquérir le moindre savoir. Mais on va se précipiter sur des notions qui fournissent des exercices difficiles pour des élèves de Math Spé MP*, comme nous le constatons chaque année lorsque nous collons sur le sujet dans ces classes ! Et tout cela pour des élèves qui, rappelons-le, ont découvert en début d’année le raisonnement par récurrence. Nous laisserons les lecteurs qui ont fait de l’arithmétique en université apprécier à sa juste valeur la présence d’un exercice ayant pour but la détermination des valuations de Q y compris p-adique ! Et nous ne sommes pas là dans un UV d’arithmétique de niveau L2 ou L3 ! Non, non ! il s’agit d’un manuel de Terminale ! Le niveau monte on vous dit ! Le niveau de la folie certainement !

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Entre autre absurdité certes bien futile en regard des horreurs que nous avons pu voir, il y a cette photo de Mr Cédric Villani dans une page métier (on se demande ce que cela vient faire dans un manuel de mathématiques) dans le chapitre d’arithmétique. Charmant... sauf que Mr Villani est spécialisé dans les équations différentielles.

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C’est comme mettre une photo de Ampère dans un chapitre consacré à la gravitation sous prétexte qu’Ampère fait de la physique. On se demande ce que cette photo vient faire là. On aurait pu au moins dans ce chapitre présenter Laurent Lafforgue ou Jean-Pierre Serre. Mais non ! Il ne s’agit pas de faire du sérieux, mais de faire médiatique et il est bien certain le « look » 19 eme siècle de Cedric Villiani est bien plus vendeur que celui de Gromov ou de Perelmann !

A coté de la page métier dont la lecture occupera certains élèves pendant quelques moments (on peut aussi leur demander d’aller chercher sur internet des informations concernant les travaux de Mr Villiani et d’en exposer les grandes lignes à la classe) il y a bien entendu, l’équivalent du mot fléché ou du sudoku, le : « jouons au petit professeur »

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A coté de ces amusements on trouvera également en « approfondissement », le théorème d’Euler sur la fonction indicatrice dont même des professeurs de mathématiques spéciale MP hésitent à parler. Il faut réaliser que même en classe de MP la simple résolution d’une équation de degré 2 modulo un carré (par exemple 25) est un exercice d’oral qui peut faire un massacre dans une épreuve de concours alors que ce sont, somme toutes, des exercices élémentaires de congruences, infiniment loin des véritables délires que l’on peut lire dans les manuels et qui ne sont là que parce que les rédacteurs de programmes ont décidé de faire une véritable surenchère des connaissances en spécialité math. Comme si les élèves qui choisissaient Spé Math étaient la réincarnation de Gauss de Pascal ou de Poincaré !

L’erreur idéologique est partout la même. Elle consiste à croire qu’en amusant les élèves on va les motiver, or le seul résultat que l’on constate, car il s’agit bien d’une constatation, est que cela évite simplement l’ennui aux élèves qui ne sont pas réellement des scientifiques car un véritable scientifique n’est pas fasciné par une mise en pratique aveugle. Le vrai élève scientifique veut comprendre. Seulement pour comprendre il faut des théories qui sont précisément exclues des programmes où n’est conservée que l’utilisation directe ; c’est s’imaginer qu’il suffit de connaître le nom des notes sur une partition pour être capable de la jouer ou d’avoir envie de devenir musicien.

Bertrand Rungaldier