V - Matrices

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L’enseignement de spécialité voit un véritable déchaînement d’absurdités dans les manuels. Il faut cependant reconnaître que les rédacteurs ont eu des maîtres en la matière: les rédacteurs de programmes de l’Inspection. Commençons par le calcul matriciel. Ceux-ci n’ont rien trouvé de mieux pour introduire le calcul matriciel que de donner en exemple d’utilisation des matrices le calcul du Pagerank du moteur Google et le modèle diffusion d’Ehrenfest en thermodynamique statistique! Totalement extravagant. Alors évidemment les rédacteurs de manuels se sentent pousser des ailes devant un pareil modèle. Cela commence avant même l’ouverture du chapitre !

Manuel français (cliquez pour agrandir)

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Il s’agit ci-dessus de la page qui précède l’intitulé du chapitre. Et que voit-on? De magnifiques matrices alors qu’en l’état, les élèves n’ont encore JAMAIS rencontré cet objet! De surcroît, la méthode dont on fait l’illustration est inconnue des élèves puisque la résolution d’un système linéaire ne fait plus l’objet du moindre enseignement. Qu’est-ce qu’un élève peut comprendre à une telle introduction? Tout simplement rien du tout. Il voit des choses, des mots dont il ne connaît pas du tout la signification et des égalités entre des objets qu’il ne connaît pas. Et ce n’est rien en comparaison de ce qui suit et nous vous prions de lire :

Manuel français

Il s’agit cette fois d’un petit laïus figurant sur la page de titre « Matrices et suites ». Il n’y a pas une seule phrase compréhensible sans avoir déjà au préalable une connaissance plutôt approfondie des matrices et de leurs usages. Mais un tel blabla est censé motiver des élèves pour étudier les matrices. A la suite de ces délires profonds suivent les activités. Ah, la belle chose que les activités! Elle sont censées être utiles pour présenter une théorie et en motiver l’étude.

Par exemple, en NRW (Ed. Schroedel) on introduit comme suit le calcul matriciel: des commandes de CD vers diverses adresses que l’on cherche à totaliser; voilà pour la somme; et un très malin exemple simple de commerce d’armoires pour motiver le produit d’une matrice par un vecteur. Exemple simple et compréhensible que l’on complique légèrement pour montrer que le produit matriciel est en fait un produit « naturel ».

Manuel allemand (NRW)

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Dans le second ouvrage que nous avons consulté (Ed. Klett), ce ne sont pas moins de 10 pages qui sont consacrées à la description d’un processus à l’aide de matrices et ceci avec d’abondantes explications. Il est à noter également que les élèves parvenus à ce stade avaient déjà rencontré les matrices dans le cadre des transformations planes... qui sont hors programme en France !

Manuel allemand

Comme toujours il y a des tonnes d’explications totalement absentes des manuels français. En France on n’explique pas ! On donne un vague résumé de cours quelques applications détaillées et ensuite ... roulez jeunesse ! Un numéro de trapèze volant !

C’est ainsi que nos pauvres élèves ont droit aux pages qui suivent ! Nous rappelons qu’à ce stade, les élèves n’ont encore JAMAIS rencontré de matrices et on leur demande à la première question de prouver que Un+1=AUn alors qu’ils ignorent comment faire un produit matriciel ou le produit d’une matrice par un vecteur. Il en est de même pour le modèle d’Ehrenfest. Notons également que nous sommes censés nous situer dans des pages qui osent s’intituler: « Du problème vers les notions ». Il s’agit donc d’une page introductive. Il s’agit de mettre le pied à l’étrier, et que propose-t-on? Le PageRank de Google qui est un exemple d’un niveau démesuré et un modèle de thermodynamique statistique une fois de plus totalement démesuré.

Manuel français

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Insistons bien: les élèves à ce stade n’ont encore JAMAIS rencontré la moindre matrice! On croit halluciner. Tout le contenu du chapitre est à l’avenant. On a donc droit à une page de cours sur les matrices inversibles et leur inverse, sauf qu’un élève ne sait pas calculer l’inverse d’une matrice tout simplement parce que ce calcul est... hors programme. La matrice inverse doit être donnée explicitement dans l’énoncé. Tout ceci est censé passionner les élèves alors que la première question que pose un élève est évidemment : « Monsieur, comment on la trouve? » parce qu’un élève ne se contente pas d’un amoncellement de recettes. Les élèves contrairement à ce que pense l’Inspection, veulent comprendre et avoir des explications les plus complètes possibles. Et le professeur d’être bien embarrassé devant cette question. Que répondre? Il ne dispose en effet d’aucun, rigoureusement aucun moyen de simplement donner une indication à l’élève sur la marche à suivre pour trouver cette fameuse inverse. Entre autre gag, cette formule X=A-1B ci-dessous, qui fait semblant de donner la solution d’un système d’équations alors que, ne sachant pas calculer une inverse puisque c’est hors programme, cette formule est totalement sans objet.

Manuel français

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Autrement dit, et comme nous l’avions vu à propos des probabilités, les connaissances requises et demandées au niveau n+1 ne reposent pas sur celles du niveau n. La pédagogie française c’est : niveau n+3 d’abord puis niveau n-1 ensuite !

Il n’y a pas pire absurdité en pédagogie. Rien n’est jamais construit. On ne peut que songer tristement à cette phrase de Bachelard en exergue des manuels de Belgique : « Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit ». Force est de constater que dans l’enseignement français : « Tout est donné. Rien n’est construit ». On nage en plein délire! Et pendant ce temps là, alors que l’on délire sur les produits de matrices, sur les 33 calculs demandés en exercices il y en a 14 où il est explicitement exigé d’effectuer le calcul par la calculatrice et seulement 2 (cf. ci- dessous 35) où il est demandé de faire le calcul à la main! Et encore, s’agit-il de calcul particulièrement simples.

Manuel français

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Les programmes n’étant pas à une monstruosité près on trouve un résultat concernant les limites des puissances d’une matrice stochastique... Résultat totalement hors programme des concours d’entrée dans les écoles d’ingénieurs !

Quand aux autres, nous doutons que les élèves s’évertuent à effectuer le calcul manuellement afin de s’exercer. Pour quoi faire ?

La page « Faire le point » relève elle aussi comme toujours de la supercherie.

Manuel français

D’abord, étant donné qu’aucun élément d’algèbre théorique n’est plus au programme depuis presque 20 ans, on aurait pu écrire le mot « distributif » en sanscrit qu’il aurait fait le même effet aux élèves ! Seconde aberration : JAMAIS personne n’a calculé une matrice inverse en cherchant B tel que A x B= B x A=I! Même dans le cas des matrices 2x2 on est conduit à résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues... ce qui est tout à fait dans l’esprit des programmes actuels. Quand au cas des matrices 3x3... 9 équations...9 inconnues? Dès lors, on savoure pleinement l’encadré « résoudre un système... » puisque le calcul de A-1 n’est pas faisable sauf à la calculatrice ! ! ! Mais on se demande alors vraiment pourquoi passer par une matrice inverse alors qu’il suffit d’utiliser la fonction « solve » de cette même calculatrice pour obtenir directement la solution du dit système.

Ainsi, non seulement les éléments proposés sont incompréhensibles ou faux mais en plus ils ne sont même pas cohérents avec eux-mêmes Mais la pédanterie et la boursouflure n’ayant aucune limite on trouve cet encadré osant parler de la décomposition de Cholesky ! Exemple d’exercice Potemkine : un titre ronflant et du vide derrière.

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« Qu’est-ce que tu as fait en Math aujourd’hui » demande le papa intéressé, « On a fait la décomposition de Cholesky d’une matrice » répond le fiston ! Et le cher papa ou la chère maman ingénieur, ébloui(e) de voir son rejeton étudier, croit-il (elle) dès la Terminale, un point d’algèbre linéaire qu’il (elle) n’aura vu qu’en école d’ingénieur... Le niveau monte !

Autant faire tracer une droite verticale en exercice et ajouter un encadré : « Pour Info : on trouve une droite verticale dans le mémoire de Riemann sur la fonction dzéta » !

Vraiment n’importe quoi ! La pédanterie la plus pure. Et d’autant plus n’importe quoi que l’utilité de cette décomposition, à savoir le calcul de l’inverse de A (car l’inversion des matrices triangulaires est très simple), n’est évidemment pas demandé, ce qui aurait été pourtant le seul intérêt de cette remarque qui pouvait alors laisser présager une méthode générale. Chez nos voisin d’outre-Rhin, l’inverse n’est tout simplement pas mentionné. Au moins c’est cohérent. Les matrices servent uniquement à enchaîner des calculs de systèmes et des changements de repères en géométrie. Ce point de vue élémentaire est pédagogiquement justifié lors d’une première approche. La détermination d’un inverse étant extrêmement difficile sans le support théorique de l’algèbre linéaire où il trouve sa place naturelle ce qui, de ce fait, simplifie considérablement les calculs.

En Belgique, c’est dès la classe de 1 ere (« 5 eme pour tous », c’est à dire pas math renforcée!) que TOUT le calcul matriciel est mis en place. Dans le cas n x n, sur le principe et avec inversion, déterminant (règle de Sarrus), et comatrice dans le cas 3x3. On notera en passant le « reconnaître une structure de groupe »! Et bien oui, en Belgique (comme ailleurs, y compris en Allemagne) on étudie des mathématique et l’on donne, dès la Première, quelques éléments sur les structures algébriques qui pourront être développés dans la suite des études.

En Suisse, c’est toute l’algèbre linéaire y compris la réduction des endomorphismes (qui n’est même pas au programme de 1ere année universitaire ou CPGE) qui est achevée dans la dernière année de lycée et des exercices correspondants sont proposés aux examens de Maturité (l’équivalent suisse du Bac).

Belgique et Suisse

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En passant, on notera la sécheresse des énoncés. On n’en a pas vu de semblables en France depuis plus de 20 ans. Aucune indication, aucun résultat dans le texte. L’élève est censé savoir se prendre en charge de A à Z. Et insistons sur le fait qu’il s’agit d’une épreuve de baccalauréat donc considérée comme faisable par un élève moyen de terminale alors que l’on n’ose même plus poser des énoncés de cette aridité, sans indication ni réponse dans le texte (du style : montrer que l’on a ...=...) en mathématiques supérieures, classes censées être destinées à des élèves d’"élite". Conclusion réelle: un élève suisse moyen de terminale est d’un niveau supérieur à un élève français de classe préparatoire, qui a un an de plus! Conclusion des experts en pédagogie du ministère: le niveau monte ! C’est la manifestation la plus parfaite de l’idéologie, du déni de réalité.

Bertrand Rungaldier

Commentaires

calcul matrice inverse

inverse[{{2,3},{-2,2}}] = [{{2/10,-3/10},{2/10,2/10}}]

la matrice inverse d'une matrice se calcule en prenant l'adjointe de sa transposée et en divisant par son déterminant ; un peu difficile pour des futurs bacheliers mais rien n'interdit de montrer la procédure de calcul sur des exemples simples ; rien n'interdit à un professeur d'aller un peu plus loin que le programme sur quelques points qu'il juge utile ;