III - Suites et limites

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Après l’équation du second degré, la notion de limite est assurément la plus importante du cycle secondaire de lycée. Puisque c’est elle qui est à la base de toute l’analyse. Fidèle à l’idéologie exterminatrice, la France est le seul pays où cette notion n’est plus enseignée. Partout figure la définition explicite et mathématiquement rigoureuse de ce concept.

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Que cette définition soit utilisée pour faire des démonstrations est un point qui peut être laissé à la discrétion du professeur. Au moins est-il pourvu du matériel nécessaire. Après cela, en fonction du niveau de la classe libre à lui de prouver ou non. Les élèves ont–ils du moins une définition correcte d’un concept de base, laquelle sera généralisée et utilisée dans les études supérieures. Une fois de plus les études françaises ne préparent en rien les études du niveau ultérieur. Tout doit toujours être vu pour la première fois. Aucun moyen de se raccrocher à des notions vues précédemment.

Présentons par exemple notre manuel Ed. Klett. Apparemment la démonstration avec découpage des epsilons n’a pas l’air de traumatiser les élèves. Et rappelons que le Land de Nordrhein-Westfallen n’est pas réputé pour son niveau scolaire. Ce n’est pas la Bavière. Quant à celui de Berlin c’est l’un des plus faible...il n’empêche, la définition est là, comme dans le manuel belge !

Manuels allemand et belge

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Et si l’on s’étonne de ne pas trouver de quantificateur ni d’epsilon, qu’on se rassure, c’est pour des raisons purement pédagogiques. La limite d’une suite précédant logiquement celle de fonction. En conséquence de quoi on trouve, dans le manuel belge, au chapitre de la continuité :

Manuel belge

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Chapeau bas collègues ! Tout y est ! Cette triple équivalence présentée dès la première est pédagogiquement exceptionnel ! Et en France ? La définition de la limite est explicitement exclue des programmes depuis 1994 (Les définitions par (ε,α), (ε,A),...sont hors programme.) de même, la notion de continuité «demeure en dehors des objectifs du programme» Ce qui n’empêche pas du tout les rédacteurs des programmes d’oser parler “d’acquérir une première idée de cette notion et de la faire fonctionner sur quelques exemples simples supports à une formation mathématique solide.” Désolé messieurs, mais les deux termes de cette affirmation ne sont pas compatibles. Une « formation solide » nécessite autre chose qu’une « première idée » fonctionnant sur des « exemples simples ». Ou bien l’on donne une définition rigoureuse que l’on fait fonctionner sur des exemples simples, ou bien à l’inverse on donne une première idée que l’on fait fonctionner sur des exemples plutôt sophistiqués afin de donner aux élèves une vision concrète des difficultés soulevées pas la dite notion. Mais en aucun cas une vague « idée de notion » sur des «exemples simples» ne permet d’acquérir une «formation mathématique solide». C’est tout simplement un mensonge !

Comme la notion de limite a dans les fait disparue, on aboutit à cette absurdité que nous avons rencontrée dans certains manuels de TS où la notion de limite d’une suite figure après le chapitre consacré aux limite des fonctions... enfin, à ce qui en fait office. Il faut dire qu’ils sont aidés par les rédacteurs de programme qui les placent bien dans cet ordre absurde. On peut en effet difficilement faire plus absurde d’un point de vue pédagogique car une suite numérique est assurément un objet infiniment plus simple à comprendre et à contrôler qu’une fonction.

Manuel français

Dans le chapitre consacré aux suites en 1S il n’y a tout simplement plus de mention du mot limite. L'idée même que cette notion puisse faire l'objet d'une définition est hors programme. Dans les quatre pages de cours et les deux de démonstration le mot limite ne figure même pas ! Qu’à cela ne tienne, les exercices, eux, en fourmillent y compris dans des situations d’une extrême difficulté. La notion de limite est donc introduite conformément à l’idée duprogramme : juste une « idée de notion ».

Manuel français

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On peut constater dans l’énoncé ci-dessus que désormais, le fait de « sembler » à valeur d’impératif catégorique. Il suffit de « sembler » pour être mathématiquement défini ! Même Euler n’aurait pas eu cette audace ! Quand à la notion si fondamentale de limite d’une fonction en un point elle n’existe tout simplement pas !

La seule limite possible est f(a). Un point c’est tout ! D’ailleurs, on se demande bien pourquoi il faudrait définir la notion de continuité avec un « lim ». En conséquence de quoi le manuel Didier propose la phrase ci-dessous :

Manuel français Didier

Nous conseillons de la relire. C’est l’ « idée » de continuité du XVIIIeme siècle. Splendide pour former les scientifiques du XXIeme. C’est tout ce que l’on trouve à dire en France sur la continuité. On notera en passant ce chef-d’œuvre de nouvelle pédagogie consistant à donner la définition de la dérivabilité avant celle de continuité. Il est vrai qu’avec ce qu’il en reste...

Seul le manuel Hatier ose présenter une définition très bien illustrée de la limite, sauf que bien sûr sa notion de limite est en fait celle de continuité.

Manuel français Hatier

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Nulle part ne se trouve une quelconque même vague définition de lim f(x)= a. Et quant bien même, la notion de limite est totalement vidée de sa substance et une fonction nulle partout sauf en un point devient une pathologie monstrueuse. Est-il besoin de préciser que chez nos voisins au contraire ce type de fonction est justement étudié pour faire mieux comprendre ce que c’est que d’avoir une limite et ce que c’est que de « tendre vers ». Nous traduisons ci-dessous, avant-dernière ligne : « Cela signifie lim g(x)=1. Cette limite lorsque x tend vers 2 ne coïncide pas avec la valeur de la fonction g(2)=3/2. Par conséquent g n’est pas continue au point 2 ». En France, avec la définition trafiquée, une telle fonction n’avait pas de limite et aujourd’hui une telle fonction relève de la psychopathologie ! Ils sont fous ces Allemands, ces Belges, ces Suisses, ces Autrichiens etc etc ! (sauf bien sûr l’Inspection Générale qui propose cette monstruosité)

Manuel allemand

Même dans un Land allemand de faible niveau comme celui de Berlin et alors que l’on sait que l’enseignement en Allemagne n’a jamais été réputé pour son degré d’abstraction, on trouve une définition simple efficace et rigoureuse, à savoir la définition dite séquentielle qui évite dans les démonstrations tout recours au ε et qui permet de faire toutesles démonstrations en les ramenant au chapitre des suites numériques (Testfolge) qui évidement a été vus précédemment. Cela s’appelle : établir une nouvelle notion en s’appuyant sur celles des chapitres précédents.

Comme toujours dans la pédagogie allemande : on en fait très peu mais on le fait plutôt pas mal du tout. On remarquera également l’usage des voisinages épointés (Umgebung*) qui ont été retirés des programme dès 1988. De surcroît l’utilisation du mot voisinage (Umgebung), prépare déjà à la définition générale que les élèves verront dans les niveaux ultérieurs. En un mot : tout y est ! Un élève plutôt doué et intéressé par la matière possède un minimum de connaissance lui permettant de se cultiver seul.

Ceci est totalement impossible pour un élève français. Ne parlons pas de nos voisins du nord qui eux doivent avoir subi une mutation génétique puisqu’ils vont jusqu’à définir la notion de point adhérent au domaine de définition avant de donner une définition de la limite qui n’est même pas au programme de classes préparatoires puisqu’en France, même à ce niveau, on n’utilise plus de voisinages épointés depuis 1988 mais la fausse définition destinée à « simplifier » les énoncés.

Manuel belge

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Pourtant, dans ce désert scientifique, on a vu surgir dans les programme de 98, avec une certaine satisfaction, une véritable définition de la limite d’une suite à coté des définitions de limite infinies (cf. manuel français ci-dessous). On trouve même quelques preuves simples comme le fait que n ou n2tendent vers l’infini. Cependant, on constate avec une certaine surprise que si l’on démontre parfois qu’une suite tend vers l’infini voire un ou deux résultats théoriques de limites infinies, il n’y a aucune démonstration rigoureuse de limite élémentaire comme le fait que 1/n tende vers 0. Un peu comme si l’infini était une notion plus simple que 0.

Il nous a fallu un bon moment avant que la lumière ne se fasse sur ce qu’il convient de nommer une diabolique supercherie. En fait, la définition proposée est tellement générale qu’elle s’applique à des espaces particulièrement abstraits (ensembles ordonnés munis de la topologie de l’ordre) dans lesquels les notions de distance ou simplement les opérations algébriques usuelles ne sont pas valables (qui auraient permis d’écrire u_n-a). Il en résulte que la définition proposée est inutilisable dans la pratique des suites numériques !

Manuel français

Ce qui est particulièrement scandaleux et inadmissible est que cette définition n’est en rien une traduction en langage courant de la définition mathématique - telle qu’elle est fournie par les manuels belges ou allemands par exemple (cf.ci-dessus) - celle-ci faisant intervenir la notion de distance entre deux réels! C’est une définition ad hoc empêchant toute manipulation. Et que l’on n’aille pas s’imaginer que ce n’est là que le fruit du hasard comme si les inspecteurs généraux qui l’ont imposée au programme ne s’étaient rendu compte de rien. On ne modifie pas à ce point une définition par hasard. Le but est tout simplement d’empêcher les professeurs d’utiliser la définition au cours de démonstrations par exemple prouver que 1/n tend vers 0 ou qu’une somme de suites convergentes est elle-même convergente... Ce que les professeurs s’efforçaient de faire auparavant. C’est parfaitement intentionnel ! Il s’agit de briser dans l’œuf toute velléité de faire des démonstrations. La raison qui a vu le maintien des démonstrations dans cas des limites infinis est le simple fait que l'expression « un devient arbitrairement grand » se traduit immédiatement par un>A et est donc utilisable. La définition de la limite avec l’expression « intervalle centré » se traduisant immédiatement par |un-a|<e rend toutes les démonstrations envisageables. A contrario, il a suffi de supprimer un seul et unique mot: l’adjectif "centré", pour vider le cours de suite numérique de toute preuve et en interdire la possibilité. C’est proprement monstrueux !

Comme on ne peut absolument rien faire de cette définition, on ne trouve éventuellement comme exercice que deux propriétés très générales des suites: l’unicité de la limite et le fait qu’une suite convergente soit bornée. Notons à ce propos que l’unicité de la limite dépasse totalement les capacités de compréhension d’un élève de lycée. Seuls les meilleurs élèves de classes préparatoires comprennent l’importance du résultat et surtout le fait qu’il nécessite une preuve parce qu’il n’a aucune raison d’être évident. La fumisterie ne s’arrêtant pas là, on trouve en exercice (cf. ci-dessous) la démonstration de la limite de 1/n sauf que ce que l’on demande de prouver (et qui constitue la démonstration à partir de la vraie définition) ne correspond pas du tout à la définition du cours. Et comme de bien entendu tout ceci titré « Utiliser les définitions ». Il faut bien se donner bonne conscience, Dans l’« Activité » ci-dessous en second, idem. On fait numériquement démontrer le fait que 1/n tend vers 0, et la page suivante donne une définition (celle que nous avons donné) qui n’a aucun rapport avec ce qui vient d’être établi numériquement. De sorte que la définition n’est en rien la mise en forme rigoureuse et mathématique d’une idée intuitive.

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Encore une fois, il n’y a que les manuels Didier et Bordas qui, contraints de donner la définition concoctée par l’Inspection générale, se dépêchent de fournir immédiatement en remarque la définition avec intervalle ou valeur absolue afin de donner quand même aux élèves quelque chose de mathématique et d’utilisable pour les professeurs. Malheureusement seulement en remarque. Quelle opinion un élève peut-il bien avoir des mathématiques ?

Mais comme les rédacteurs de manuels ne sont pas à cours d’absurdités, on trouvera dans un exercice Potemkine la définition d’une suite de Cauchy ! Notion à peine au programme des classes de Mathématiques Spéciales,tellement elle est délicate. Il s’agit juste de mettre un « gros mot » histoire de faire savant au lieu d’enseigner à étudier des suites.

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Dans la série démence et gros mot voici encore deux exemples. Les deux exercices ci-dessous constituent de redoutables questions d’oraux de concours d’écoles d’ingénieurs présentés comme si de rien n’était à des élèves de terminale. Ces deux suites rentrent en effet dans un cas d’étude extrêmement délicat : fonction décroissante au voisinage de son point fixe 1+1/x pour la première et V(2-x) pour la deuxième. De ce fait les suites ne sont pas monotones et les convergences deviennent par conséquent très difficiles à obtenir.

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L’extrait suivant quant à lui est doublement intéressant. On observe d’abord le niveau particulièrement élémentaire du N° 106 laissant présager une grande modestie quant aux objectifs à atteindre. Mais dans le même temps on trouve les deux autres énoncés...

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Si le fait que la série harmonique soit divergente est un résultat intéressant au niveau du lycée, la méthode proposée est proprement démenteau niveau de la terminale car elle est déjà difficile à suivre par des élèves de CPGE (ce que nous constatons chaque année) ! Il suffisait pourtant de la faire minorer par une intégrale dans le chapitre correspondant. Tel qu’il est proposé, l’énoncé nécessite en gros 1 heure de travail en classe et en fait seul les élèves de tête arrivent à suivre le fil de la démonstration.

Quand au « nombre de Coperlaus-Erdös » (encore un gros mot pour faire intelligent) il n’est même pas clairement défini. La suite dont on demande de prouver la convergence ne peut, en effet, pas être définie clairement, puisque non seulement on ignore la façon dont s’écrit le n-ième nombre premier mais on ne sait même pas combien il a de chiffres ! Ainsi, contrairement à ce qu’affirme l’énoncé, la suite n’est PAS définie par la phrase qui suit si l’on veut donner au verbe « définir » le sens précis qu’il doit avoir en lycée. Et l’on ose appeler cela des mathématiques et une exigence de rigueur !

Dans la série « ne sert à rien mais donne l’impression de faire des études » on notera les « sujets d’exposés ». Comme si un élève de première ou de terminale S, n’avait rien d’autre à faire chez lui que de chercher des informations sur Internet.

Manuel français

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Notons en passant que l’impossibilité de carrer le cercle est due à la transcendance de π. Nous aimerions voir l’élève extra-terrestre capable d’expliquer les « idées de la démonstration » de la transcendance de π alors que la simple résolution d’une équation de degré 2 est déjà considérée comme difficile. Soit dit en passant, la démonstration de ce résultat a fait l’objet d’une épreuve de concours de 6 heures à l’entrée de la Rue d’Ulm et l’on demande tout simplement à un élève de terminale d’en expliquer les grandes lignes ! Nous voudrions savoir comment l’on peut expliquer les grandes lignes de quoi que ce soit sans du tout être capable de comprendre la chose en question ? Il s’agit une fois encore dans les faits de « brasser du vent ». Posons alors la question qui fâche: combien d’heures un élèves va-t-il passer sur internet à glaner des informations sur la transcendance de π au lieu d’apprendre à faire des mathématiques ?

La boursouflure et la pédanterie ne connaissant aucune limite, dans la même veine on trouve dans un autre manuel (ci-dessous) une page d’« activités de recherche » sur les fractions continues (toujours des activités et surtout pas d’apprentissage. Les activités c’est tellement plus ludiques alors qu’apprendre est tellement fastidieux). On nage en pleine démence ! Oh, certes, les fractions continues constituent un sujet particulièrement passionnant, mais à ce niveau de formation de base, il s’agit d’acquérir des connaissances fondamentales pour la suite de ses études et non de s’amuser à « faire des recherches ».

Manuel français

Voilà donc le « bagage mathématique solide » (on se délectera du mot « solide ») qu’entendent fournir les rédacteurs de programmes : aux élèves désireux de s’engager dans des études supérieures scientifiques, en les formant à la pratique d’une démarche scientifique et en renforçant leur goût pour des activités de recherche. » Les chefs d’entreprises qui recherchent désespérément des ingénieurs de haut niveau vont apprécier.

Nous voyons donc à nouveau dans ce chapitre et en abondance ce que nous avions constaté dans la présentation des ouvrages et le début des chapitres d’intégration : il s’agit partout de jouer et d’occuper son temps.

Abondance fantastique d’exercices de toutes sortes qui résulte de l’absence de cours substantiel et de l’exigence de ne pas fournir de capacité calculatoire et parallèlement la quasi permanence d’utilisation de calculatrices, de tableurs ou de logiciels. La France est le seul pays dans les manuels duquel on trouve des chapitres entiers consacrés aux tableurs et autres calculateurs. A l’étranger on étudie des mathématiques et l’on ne fait pas joujou avec sa prothèse corticale puisque désormais en France la calculatrice graphique remplace le cerveau. Même dans un ouvrage allemand mentionnant explicitement sur sa couverture : « mit CAS » , c’est-à-dire Computer Algebra System autrement dit logiciel de calcul formel, on ne trouve pas plus de 25% du manuel (celui des Ed. Klett) recourant explicitement à de tels outils (contre 50% dans tous les manuels français). De surcroît en dehors de tels manuels il en existe de nombreux autres qui, tout en s’autorisant le recours à la calculatrice ne demandent aucun usage particulier d’outils informatiques. Et encore s’agit-il là uniquement d’un outil, non d’une prothèse. Nous avons déjà donné de nombreux exemples prouvant le sérieux et le niveau du cours qui y est présenté mais au cas où cela ne suffirait pas nous extrayons le paragraphe ci-dessus, dans lequel on énonce et l’on prouve le théorème de la limite monotone avec à la suite un encadré sur la propriété de la borne supérieur dans R, et la différence entre R et Q à savoir la complétude. On peut donc utiliser une calculatrice comme un outil, ou en devenir l’esclave, c’est-à-dire être rigoureusement incapable de travailler sans. Les rédacteurs de programmes ont choisi leur camp ! Il faut bien avoir à l’esprit qu’apprendre à calculer correctement n’est en aucun cas une technique inutile quand bien même il existerait des logiciels de calcul formel. Savoir mener correctement un calcul compliqué nécessite une certaine capacité d’anticipation pour s’y prendre d’une façon raisonnable, demande de vérifier constamment ce que l’on fait, donc d’avoir un esprit critique envers ce que l’on écrit; l’aspect technique du calcul permet à tous les élèves soigneux de réussir, ce qui n’est pas le cas pour la capacité à faire des raisonnements compliqués. Il en résulte que demander des capacités calculatoires peut s’avérer gratifiant y compris pour des élèves moyens qui à défaut d’être capables de mener des raisonnements astucieux ont le sentiment de savoir vraiment faire quelque chose. Il peuvent se prouver être des scientifiques parce qu’ils savent faire des calculs. Ce qui est en effet le minimum exigible de la part d’un scientifique.

Bertrand Rungaldier