Les mathématiques, un supplément d’âme - entretien avec Anibal Cortés

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Elles sont partout, a-t-on envie de dire. Et à écouter les mathématiciens parler de la théorie des nombres, des probabilités ou de la topologie, comme récemment dans une très belle exposition de la Fondation Cartier, « Mathématiques, un dépaysement soudain », c’est à des poètes que l’on croit avoir affaire, même si l’on ne sait pas réellement à quoi tout cela réfère, parce que les mathématiques à l’école, on est justement passé à côté. Alors pourquoi les mathématiques ne seraient-elles pas le supplément d’âme de la littérature en inversant ainsi la formule habituelle ? Ce que bien des  écrivains confirment, écrivent chacun à leur manière. Il suffit de penser à P. Valéry, à « la bibliothèque de Babel » de J.L. Borges, à  G. Perec et les Oulipiens, à D. Guedj, W. Szymborska ou « O mathématiques sévères » de Lautréamont, pour ne citer qu’eux. Cependant, ces puissantes mathématiques sont encore bien trop souvent redoutées, parfois même délaissées dès la première difficulté. Heureusement rencontrées, elles conduisent à ce que l’on appelle encore facilement la voie royale, la filière scientifique. Difficilement comprises, elles provoquent elles-mêmes leur rejet, ce qui entraîne parfois  un sentiment de honte, à tout le moins un malaise chez le jeune sujet, si ce n’est un profond ennui ou mépris. Si l’on considère qu’elles ne sont pas un instrument de sélection, ou ne doivent l’être, comment rendre leur abord plus aisé pour tous, notamment au moment où il n’est plus seulement question de compter, peser ou vendre des pommes, mais que l’algèbre vient recouvrir d’un voile d’abstraction l’arithmétique, jusqu’alors vécue de manière pratique. Après avoir mené des recherches sur l’apprentissage des mathématiques pendant une vingtaine d'années, Anibal Cortez a publié un ouvrage Enseigner les mathématiques au Collège, Comment aider les élèves à faire leurs devoirs (Hermann, Paris, 2011) qui se propose d’y répondre mathématiquement. En outre, il a bien voulu nous en donner un aperçu pour Skhole.

Elise Clément

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Skhole : Anibal Cortés pour commencer merci ! Depuis plus de vingt ans  vous  aidez des élèves qui rencontrent des difficultés en mathématiques et effectuez des recherches sur l’apprentissage des mathématiques en classe comme à la maison. Ce présent ouvrage est le fruit de ce « terrain », il répond concrètement, mathématiquement, ai-je envie de dire, à ce qui fait énigme, a fait énigme, pour certains d’entre nous dans la rencontre avec les mathématiques. Comment vous est venu ce désir d’écrire ce manuel ?

Les recherches que nous avons effectuées forment un tout cohérent. L’analyse et la classification des erreurs en relation à la  propriété mathématique non respectée nous a permis d’identifier des tâches invariantes que les sujets novices ou experts effectuent (ou pas) lors de la résolution de problèmes et exercices (numériques, algébriques, mise en équation, géométrie etc.). Par exemple, lors d’une transformation algébrique les sujets effectuent cinq tâches invariantes (d’analyse et de contrôle), ces tâches constituent un modèle du fonctionnement de la pensée conceptuelle dans le domaine du calcul algébrique. Nous avons identifiés les tâches invariantes dans les autres domaines (numérique, géométrie, mise en équation de problèmes…).

Le but de cet ouvrage est de fournir des outils aux enseignants et aux parents d’élèves. Par exemple, les tâches invariantes constituent un outil puissant qui guide l’activité de tutelle de l’enseignant et celle des parents d’élèves lors de la résolution de problèmes à la maison.

Skhole : Vous partez d’une hypothèse des plus réjouissantes, chaque élève, même en grande difficulté, peut avoir accès à l’apprentissage des mathématiques élémentaires (calcul numérique, algébrique…) parce que l’esprit peut identifier le « vrai » et le « faux ». Cependant, vous montrez aussi comment les apprentissages mathématiques reposent dans le processus cognitif, à la fois sur des schèmes et sur des connaissances mathématiques, mais aussi sur des connaissances implicites  (« des théorèmes en actes ») parfois fausses qui peuvent conduire à l’erreur. Certains élèves ont appris des règles de transformation (dans le calcul numérique et algébrique) qui associent propriété mathématique et visée opératoire sur un objet mathématique, sans pouvoir les justifier. Vous écrivez, « parfois la règle explicite sa propre justification », pouvez-vous nous donner un exemple ?

Effectivement, l’utilisation de règles dépourvues de justification mathématique empêche l’élève d’effectuer le contrôle de la validité de la transformation et conduit parfois (surtout les élèves en difficulté) à l’erreur.

Le calcul algébrique est résumé dans les manuels de la classe dans deux règles de transformation : « on additionne ou on soustrait le même nombre aux deux membres de l’équation » et « on multiplie ou on divise par le même nombre les deux membres de l’équation ». Ces deux règles sont considérées comme « évidentes » ou « autojustifiées » car elles conservent les solutions. Mais, en réalité, elles conservent les solutions, car elles conservent la valeur « vrai » des équations ; un travail de justification plus approfondi est possible. L’utilisation de ces deux règles conduit à des écritures « lourdes » qui ralentissent le travail des élèves. Par exemple :

3x-16=20 ; 3x-16+16=20+16 ;  3x=36 ;  3x /3 = 36/3 ;  x=12

Si l’on remplace x par 12 dans la première équation l’égalité est vraie : 36-16=20. La valeur « vrai » de l’équation valide la solution trouvée. Les élèves, pour gagner en rapidité, simplifient leurs écritures et au bout d’un certain temps les règles précédentes changent, par exemple : « on passe un terme de l’autre coté du signe égal en changeant le signe » et « on passe le coefficient de l’inconnue en divisant » ou parfois des fausses règles (par exemple, « on passe le nombre en divisant et on change le signe ». Ces règles, sans justification mathématique pour la plupart des élèves sont des « théorèmes en acte ». Les règles « évidentes » proposées au début des apprentissages constituent la justification mathématique des nouvelles règles.

3x-16=20 ;  3x=20+16 ; 3x=36 ;  x=36/3 ; x=12

Skhole : Les mathématiques seraient la conservation de la valeur « vrai » des expressions mathématiques dans toute opération ou problème à résoudre. Vous montrez que les sources d’erreur sont liées aux tâches invariantes qui ne sont pas effectuées dans la résolution d’un problème mathématique, parce que l’élève n’arrive pas à justifier la validité des transformations, parce qu’il est perdu, ne les connaît pas, ne sait comment faire. Peut-être pourriez-vous nous expliquer ce qu’est une tâche invariante et le fonctionnement de la conservation de la valeur vraie dans la résolution d’un problème d’algèbre ?

Regardons d’abord comment la conservation de la valeur « vrai » d’une égalité numérique permet de justifier la règle des signes dans le calcul numérique qui pose problème à beaucoup d’élèves : le produit de deux nombre négatifs aboutit à un résultat positif.

L’égalité  est une égalité « vraie » que l’on peut développer :

La conservation de la valeur vraie de la première égalité () impose le résultat positif du produit . La conservation de la valeur « vrai » détermine la règle des signes, en général, elle permet de construire la justification mathématique de chaque transformation numérique ou algébrique. La conservation de la valeur de vérité est une propriété fondamentale des mathématiques. Par la suite nous abordons les tâches invariantes.

Skhole : Vous avez pu établir une liste de cinq catégories d’erreurs en lien avec les tâches invariantes qui n’ont pu être effectuées. Par exemple, la première correspond tout simplement à l’impossibilité pour l’élève d’effectuer une transformation. Vous donnez l’exemple suivant : face à une équation -w =10, 66, certains élèves ne peuvent répondre, parce qu’ils ont conceptualisé qu’une inconnue est un nombre, or un nombre est différent de son opposé, (1 est différent de - 1), ils donnent donc à -w le statut d’inconnue. À ce stade, l’élève n’effectue pas la transformation qui serait w=-10,66. Votre classification paraît englober tout ce qui est susceptible d’arrêter l’élève dans sa poursuite de l’apprentissage des mathématiques. Je trouve votre manière d’expliquer les choses d’une grande pertinence, car on comprend très bien les manques de l’élève, mais aussi presque ce qui lui fait violence dans son incompréhension des écritures mathématiques et de leurs transformations. Vous levez un coin du voile sur l’idée erronée qu’il y aurait des « esprits matheux », et d’autres qui ne le seraient pas, en étant attentif aux styles cognitifs de chacun, à ce qui n’a pas été suffisamment assimilé à un moment dans l’apprentissage. C’est réjouissant ! Pouvez-vous illustrer vos cinq catégories par un exemple ?

On peut considérer que l’erreur survient quand l’élève se trouve dans l’impossibilité d’effectuer une tâche invariante. Par exemple, l’élève écrit l’équation –w=10 et arrête son calcul. Il est dans l’impossibilité d’analyser correctement l’équation et de choisir une transformation (première tâche invariante), son concept d’inconnue est insuffisant et n’effectue pas la transformation  w=-10.

Au lieu de parler d’erreurs je vous propose d’aborder les tâches invariantes que l’on effectue dans le calcul algébrique lors d’une transformation et de voir dans quelles conditions l’élève peut faire des erreurs. On peut considérer que la conservation de la valeur « vrai » des égalités et des inégalités est la propriété fondatrice des transformations. Regardons la résolution d’une équation simple pour le lecteur : 3x-16=20.

Le sujet doit analyser l’égalité et identifier une équation au moyen de connaissances mathématiques (concepts d’équation du premier degré, terme, inconnue, propriétés de l’équation, une seule solution…) et le but de la tâche (calcul de la solution), c’est la première tâche invariante. Le choix d’une transformation implique, au préalable, l’identification de l’opération prioritaire (deuxième tâche invariante) : dans l’équation précédente la multiplication est prioritaire sur la soustraction. Implicitement ou explicitement le sujet doit effectuer ces tâches invariantes ; si le sujet n’est pas capable d’analyser l’ordre de priorités des opérations des erreurs graves peuvent apparaître. Au début des apprentissages, les erreurs dues au non respect de la priorité des opérations sont fréquentes. Dans la résolution d’équations plus difficiles l’identification de la priorité des opérations s’avère difficile pour nombre d’élèves. En général, dans les manuels, on parle très peu de la priorité des opérations.

L’analyse de l’égalité 3x-16=20 conduit à considérer que la fonction 3x-16 doit être égale à 20 pour que l’égalité soit vraie ; il y a une seule valeur de x qui rende l’égalité vraie : c’est la solution. On peut voir facilement que le terme 3x doit être égal à 36 pour que l’égalité soit vraie : 36-16=20. Donc la transformation « on additionne le même nombre aux deux membres de l’équation »  3x-16+16=20+16 conduit à une égalité vrai : 3x=36.

Cette égalité conserve la solution et justifie la règle. La justification mathématique permet à l’élève de contrôler la validité de la transformation (troisième tâche invariante). Parfois les élèves utilisent de fausses règles de transformation (absence de justification mathématique) qui conduisent à des erreurs. L’écriture de la deuxième équation implique le contrôle du transfert de termes et de résultats numériques : très souvent les élèves font des erreurs lors du transfert de termes et de résultats numériques (quatrième tâche invariante) parfois dans la résolution d’équations simples. La cinquième tâche invariante concerne les calculs numériques : il y a des erreurs conceptuelles dans les calculs et il y a aussi des erreurs de lecture des opérations numériques qui conduisent à des erreurs.

Les experts, les professeurs par exemple, ainsi que les bons élèves, effectuent ces tâches très rapidement, implicitement. Les experts utilisent seulement les règles dont ils ont la conviction intime qu’elles sont valables ; ils s’arrêtent pour chercher une justification seulement quand la transformation pose problème.

Les élèves en difficulté n’effectuent pas les tâches invariantes, en revanche, ils construisent un algorithme de résolution (d’abord on passe le nombre -16 en changeant le signe et ensuite on passe le coefficient 3 en divisant), cet algorithme est efficace pour un certain nombre d’exercices :  3x-16=20 ;  3x=20+16 ; x=36 /3=12. Ensuite, les élèves remplacent x par 12 dans la première équation et c’est la valeur « vrai » de la première équation qui permet de valider la solution x=12. Cet algorithme s’avère efficace pour un nombre réduit d’exercices.

Skhole : Comment l’introduction de l’algèbre au collège pourrait-elle être rendue moins opaque, quand les lettres, ou les symboles, viennent finalement remplacer les chiffres ? Quel est le degré de complexité que l’algèbre ajoute au calcul numérique ?

Regardons quelques exemples. Lors des calculs numériques simples l’on peut aboutir à un résultat en respectant la priorité des opérations, par exemple . Lors d’un calcul algébrique, par exemple 3x-16= 5x+20x-40, il faut effectuer des transformations. Par ailleurs, la signification du signe « égal » de l’équation est différente, c’est une équivalente qui est « vrai » pour une seule valeur de x ; ceci pose des difficultés.

On effectue aussi des transformations sur les égalités numériques (par exemple, lors de l’addition des fractions) qui posent beaucoup de difficultés aux élèves. Le travail avec les puissances et les racines carrées pose aussi des difficultés. Le domaine numérique ne se réduit pas à des calculs simples et les élèves construisent un grand nombre de règles de transformation numériques sans justification mathématique.

La conservation de la valeur « vrai » des égalités et des inégalités permet de construire des justifications mathématiques de toutes les transformations algébriques et numériques. Quand les élèves sont en mesure d’effectuer le contrôle de la validité de leur travail (au moyen de justifications), la résolution de problèmes mathématiques gagne en clarté. L’absence de justifications conduit l’élève à l’utilisation de règles opaques perçues comme arbitraires : les élèves construisent des algorithmes de résolution numériques et algébriques.

Skhole : Pour rester avec les lettres, la lecture des énoncés pose des difficultés à certains élèves dans la conduite d’une résolution de problème, dites-vous. Cela illustre encore le caractère artificiel de cette distinction entre lettres et mathématiques. Certains élèves finissent par l’adopter quand ils n’ont pas de résultats satisfaisants dans l’une ou l’autre matière, avec pour conséquence, l’abandon, ou le rejet de l’un ou l’autre champ, au nom de cette croyance. Ce que l’on peut constater pour certains élèves qui ont fait le choix d’une filière, et ne s’intéressent plus du tout à la littérature, ou l’inverse, au motif qu’ils ne savent pas, ne comprennent pas, n’ont pas la sensibilité pour. Qu’en pensez-vous ?

Parfois certains élèves dont la langue maternelle n’est pas le français, parfois des élèves de langue française lisent les énoncés de problèmes et exercices mathématiques avec de nombreuses difficultés, parfois ne lisent pas correctement. On peut faire l’hypothèse que la plupart des élèves qui ont des difficultés dans la lecture du français, à un moment donné, se retrouvent  en échec en mathématiques et en littérature.

On comprend que les élèves qui perçoivent les mathématiques comme un empilement de règles arbitraires choisissent des filières littéraires. Ces élèves, à un certain moment de leur scolarité, n’arrivent plus à donner du sens au travail mathématique. Par exemple, pour la plupart des élèves, dans la mise en équation de problèmes énoncés en langage naturel, la lecture des énoncés ne pose pas de problème, la difficulté réside dans la construction d’une représentation mathématique du problème (l’écriture d’une équation, par exemple) qui se fait à partir de la construction de fonctions : il faut des connaissances mathématiques. La compréhension de l’énoncé ne suffit pas.

Par contre, les élèves qui apprennent à travailler les mathématiques (devoirs à la maison, par exemple) acquièrent une certaine autonomie. Ces élèves construisent des justifications et donnent du sens à leur travail qui n’est plus arbitraire. Dans ces conditions ces élèves peuvent suivre des filières scientifiques tout en ayant goût pour la littérature : ce n’est pas incompatible.

Skhole : Par ailleurs, vous expliquez que l’une des difficultés majeures est l’absence de continuité dans la présentation des chapitres mathématiques dans les manuels scolaires et la manière dont ils sont enseignés. Pouvez-vous nous en dire plus ? 

Les justifications mathématiques de certaines transformations peuvent se faire au moyen d’une transformation numérique. Par exemple, la transformation des inéquations conduit à l’échec bon nombre d’élèves, car il y a une transformation qui est particulière et qui est donnée sans justification mathématique ; cette transformation est vite oubliée par les élèves : le changement de signe d’une inéquation (par exemple –4x<20 ; 4x>-20) implique un changement de sens de l’inégalité.

La justification mathématique de cette règle difficile peut se faire au moyen de la transformation d’une relation numérique, par exemple : soit l’inéquation -4x<20, la valeur x=1 est une solution : -4<20 et constitue une relation « vrai ». Si l’on change de signe en multiplient pas (-1) les deux membres de la relation, il faut changer le sens de la relation pour conserver la valeur "vrai" de la relation :

   car  (la valeur « vrai » de la relation est conservée).

Les domaines numériques et algébriques sont imbriqués : l’on peut justifier l’algèbre au moyen de modèles numériques : on peut établir des nombreux ponts entre l’arithmétique et l’algèbre.

En classe de 4ème les élèves étudient les droites, par exemple y=5x+6. En classe de 3ème Ils étudient les fonctions linéaires et affines, par exemple f(x)=5x+6. Quelle différence peut faire un élève entre les deux ? Aucune. Pourtant, les manuels traitent les droites et les fonctions comme des objets mathématiques différents. Il faut se souvenir que autrefois les droites étaient des fonctions et que les deux notations y=5x+6 et f(x)=5x+6 étaient permises pour les fonctions.

Skhole : Votre ouvrage traite également de la géométrie. Quelles sont les plus grandes difficultés dans ce champ que vous avez pu repérer ?

En géométrie, chaque fois que l’on établit une relation, il faut écrire explicitement la justification mathématique. Ceci rend le travail en géométrie très rigoureux, mais très difficile pour les élèves, car d’une part il faut identifier le théorème qui justifie l’hypothèse faite, et ensuite, il faut écrire l’énoncé du théorème correctement.

Le travail que nous proposons concernant la construction de justifications des règles de transformation donne une continuité  au travail de résolution de problèmes dans l’algèbre et la géométrie. Néanmoins, le nombre de règles que l’on utilise en algèbre est limité et les justifications se construisent au fur et à mesure de sa scolarité.

Skhole : Enfin, une dernière question, dans une société où le « gai savoir » n’est pas toujours ce qui est le mieux partagé, qu’est-ce qui a motivé votre choix de professeur bénévole ? Et quel est le public qui s’adresse à vous ?

Qu’est-ce un « gai savoir » en mathématiques ? Je pense à un savoir efficace et satisfaisant au même temps. L’application de règles sans justification mathématique est vécue par les élèves comme arbitraire ; néanmoins cette façon de travailler s’avère parfois efficace mais rarement satisfaisante. En revanche, l’utilisation de propriétés mathématiques que l’on sait justifier s’avère plus efficace et beaucoup plus satisfaisante.

Les élèves avec lesquels je travaille sont, pour la plupart, des élèves en grande difficulté. En tout cas, des élèves avec de grandes lacunes. Parfois, on peut partager avec eux un « gai savoir ».