II - Equations du second degré

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Après la présentation des ouvrages et d’un chapitre il convient d’examiner le contenu. Nous présentons un manuel « particulièrement gratiné » (Hachette) car il concentre tout ce que l’on peut trouver ailleurs. Nous commencerons par le chapitre consacré à l’équation du second degré. Celle-ci est étudiée en classe de seconde chez tous nos voisins (voire même quatre années avant l'entrée en université, soit l’équivalent de la 3eme, en Bavière) comme elle l’était encore dans les années 1980 en France. La volonté de « rééquilibrer » les séries a conduit alors à déplacer l’étude de l’équation du second degré en classe de première, à la différence de tous nos voisins. Ce déplacement totalement injustifié trahissait déjà la tendance à détruire l’enseignement scientifique, voire tout enseignement de qualité.

Voici tout d’abord l’ouvrage français :

Manuel Hachette (1e,  cliquez pour agrandir)

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Immédiatement plusieurs remarques s’imposent. D’abord et comme il a été noté plus haut, l’absence de preuves. Tous les résultats sont parachutés sans aucune étude préalable ni preuve. Celles-ci sont reléguées par l’éditeur à la fin du cours et des savoir-faire. Ensuite, on est frappé par le caractère extravagant des énoncés. Ceux-ci ne constituent en aucune façon ce que l’on nomme des théorèmes. Tout au plus s’agit-il d’une sorte de résumé de toutes les propriétés concernant l’objet en question. Il en résulte qu’un théorème n’est plus un énoncé que l’on apprend pour être capable de le réciter par cœur au moins mentalement afin de vérifier si l’on se trouve bien dans son cadre d’application. Savourons ensuite qu’après une seule page de « cours » il soit déjà nécessaire de faire un résumé ! puisque celui-ci figure en page 2 ! Et délectons- nous de ce merveilleux « résumé algorithmique » ! Nous avouons ne pas avoir compris en quoi consistait un « résumé algorithmique » . Nous pensons: en rien ! Ce n’est que la mise en acte de cette hystérie algorithmique qui fait utiliser ordinateurs, tableurs, et autres instruments de calculs sans aucune motivation si ce n’est le désir d’empêcher les élèves de comprendre. Juste les transformer en automates qui appuient sur des boutons.

Le caractère dément des énoncés peut par exemple se mesurer sur la première propriété. En France: « on a... » et voilà c’est fini ! Ci-dessous les analogues allemands et belges.

Manuels allemand et belge

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On mesure aisément toute la différence quant au type d’enseignement dispensé. D’un coté on parachute une « chose », de l’autre, on prouve, on explique, bref on enseigne ! On prend même mille précautions. La page ci-dessus est par exemple précédée de trois autres dans lesquelles sont étudiées par le menu les diverses opérations faisables sur des graphes.

De même en Allemagne, comme on peut le constater sur l’exemple plus haut, où tous les éléments constitutifs sont détaillés dans la colonne de droite. Mais la comparaison peut être placée sur un autre plan en remarquant la sobriété des ouvrages étrangers.

Et le délire ne s’arrête pas là puisque l’on constate l’absence du moindre résultat concernant la factorisation des trinômes. Nous y reviendrons. On peut également observer avec effarement l’énoncé du premier théorème qui en fait énonce le résultat concernant le signe d’un trinôme. Ce que nous avions simplement appris par cœur au point de nous en souvenir encore (et de l’appliquer) sous la forme: « un trinôme est du signe de son plus haut coefficient sauf entre les racines » est devenu cette chose illisible et rigoureusement impossible à retenir. Car on retient bien une phrase, pas cet amalgame ! Reconnaissons que Didier et Belin s’en approche d’assez près mais simplement en remarque, au lieu d’en faire l’énoncé proprement dit, de sorte que la propriété à retenir, celle qu’un élève scrupuleux tentera d’apprendre, a un énoncé impossible.

Après ce pseudo cours, les exercices sont eux-aussi de la même eau. D’abord, dans leur pratique quotidienne, les professeurs sont bien en peine pour trouver des exercices de technique simple permettant à leurs élèves de se faire la main. Ce chapitre est pourtant essentiel pour toute la suite des études scientifiques, puisqu’il est le premier concernant un résultat non trivial à propos des polynômes et qu’il est à ce titre le marchepied vers tout ce qui s’étudiera par la suite sur le sujet. Mais à part ça le programme officiel affirme « procurer un bagage mathématique solide ».

Ce qui frappe dans la liste d'exercices, c'est leur caractère disparate. On change de type d'énoncé en permanence. Impossible de se faire la main techniquement. La comparaison belge est percutante.

On ne trouve que 26 exercices techniques en tout et pour tout pour se faire la main (ci-dessous de 42 à 47) dans le manuel Hachette et encore moins (16) chez Nathan ; Bordas culminant avec 65 !

Manuel Hachette

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On peut en compter 167 dans l’ouvrage belge ! Tout, absolument tout ce que l’on peut faire avec les équations du second degré y passe. Un élève qui a travaillé sur de tels manuels sait en principe tout faire avec des équations de degré 2. Un pauvre élève français - à moins d’avoir eu la chance de travailler sur le Belin (encore lui) qui propose plus de 120 exercices du genre de ceux-ci - ne sait rien faire ; il a simplement papillonné, sautant du coq à l’âne.

On lui a par exemple demandé de factoriser un trinôme alors que nulle part il n’est expliqué en quoi cela consiste ni bien sûr pourquoi c’est possible. Le résultat en tant que tel ne fait désormais plus partie du programme. Tout juste est-il mentionné en passant, alors que c’est certainement le résultat théorique le plus important de ce chapitre puisqu’il ouvre la porte à toute l’étude des polynômes que l’on peut faire dans le supérieur. En fait, on découvre par hasard que ce résultat est établi en ... mais pas dans le cours ! Au cours d'une démonstration (eh, oui ! Il arrive quand même que l’on en trouve) on constate en lisant bien attentivement que la factorisation est écrite sauf que ce n’est pas l’objet de la dite démonstration qui elle, établit les formules de résolution. Ce résultat absolument capital fait seulement partie des capacités attendues et non d'un résultat de cours. Il faut reconnaître cependant que certains manuels présentent cette factorisation d’une façon claire et rigoureuse. C’est notamment le cas chez Didier mais particulièrement chez Belin qui est le seul chez qui l’on trouve le titre « Résolution d’équations du second degré ». Partout ailleurs, on a l’impression que les auteurs ont honte d’en parler (normal, ce n’est pas au programme).

Une fois de plus, la comparaison est redoutable pour le niveau français. Voici la page correspondante du manuel belge (2nde).

Manuel Belge (2nde)

On notera en passant la présence des relations coefficients-racines qui permettent de répondre à un nombre incalculable de questions sans avoir à passer par une résolution explicite qui peut s’avérer parfois très lourde. Ce type d’exercice était le lot commun des élèves de seconde et de première C. Désormais il faut attendre le niveau L1 ! Mais dans le « supérieur » on ne peut pas se contenter du second degré. On est bien forcé de traiter des cas « supérieurs », si bien que les élèves sont débordés puisqu’ils ne disposent pas d’un précédent simple.

Bien évidemment ces relations sont également enseignées en Allemagne. Et pour ce qui concerne le résultat, on peut le constater ci-dessous, c’est directement la division euclidienne et la factorisation des polynômes en degré quelconque qui est faite en classe (2nde). De quoi provoquer une crise d’apoplexie chez un inspecteur général.

Manuel allemand (2nde)

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De cet examen il ressort quelques caractéristiques de l’enseignement français. Comme il a déjà été évoqué, les mathématiques ne sont plus le lieu d’apprentissage privilégié du raisonnement. Aucun résultat un tant soit peu théorique qui se verrait généralisé dans la suite des études n’y figure. Seul restent quelques savoirs-faire élémentaires de calcul, sans fondement. Et même dans ce cas, plus aucune capacité technique véritable. Il en résulte, au niveau CPGE, les plus grandes difficultés à résoudre une équation du second degré même simple. Les fautes de calculs abondent conséquence d’une absence totale d’entraînement. L’absence de manipulation technique rend également les élèves incapables de mesurer ce qu’apporte chaque type d’écriture: factorisée, développée, réduite. Ils vont donc développer alors qu’il faut rester factorisé ou l’inverse. C’est pourtant, soi-disant, l’un des objectifs visés en lycée et force est de constater que c’est un échec total même pour les élèves les plus doués qui sont ceux qui constituent les effectifs de CPGE. Les énoncés d’exercices sont la plupart du temps démesurément long ce qui prend donc beaucoup de temps et de ce fait limite fortement le nombre de mises en pratique. En bref, au lieu d’apprendre à résoudre les équations du second degré sous toutes les formes possibles et d’apprendre à manipuler les solutions de telles équations, on obtient en pratique un rapide survol de ces apprentissages suivi de l’étude de quelques énoncés d’origines aussi diverses que possible. C’est l’effet touristique dont nous parlions plus haut: on visite toutes sortes d’endroits où l’on note la présence d’une équation de degré 2. C’est amusant, ludique, distrayant, mais cela n’apprend rien, ne donne aucune connaissance réelle et surtout, ne prépare en rien les élèves à leurs études futures.

Tous ces éléments vont bien entendu se retrouver dans les autres chapitres.

Toujours dans ce même chapitre, on sait bien que la grande propriété géométrique de la parabole est l’existence du foyer puisque cette propriété est à la base de la construction des phares de voiture, des télescopes, radiotélescopes, antennes dites à juste titre « paraboliques », fours et centrales solaires etc. Bien évidemment et comme on peut s’y attendre, pas le moindre mot concernant cette propriété dans les ouvrages français. Tout au plus on le trouvera en exercice, si bien qu’il suffit que le professeur ait décidé d’en faire un autre et l’élève arrivera en université sans même savoir que la parabole possède des propriétés géométriques particulières ni pourquoi son antenne TV a la forme qu’elle a! Il s’agit vraiment d’une formation scientifique de haut niveau!

Dans le même temps on trouve bien sûr à l’étranger de fort nombreux détails sur cette propriété. Quant à la manière dont elle est présenté ? Nous laissons juge.

Manuel Hachette

Quel élève est-il capable de comprendre seul ce que signifie « le rayon réfléchi est déterminé comme étant le symétrique du rayon incident par rapport à la normale à la parabole au point A ». Réponse facile : pratiquement aucun! Pour la simple raison que la notion de droite symétrique d’une autre n’a jamais été rencontrée par un élève puisque la géométrie des transformations planes a été éradiquée des programmes! Pareillement, comme les lois de la réflexion et les miroirs ne sont plus au programme de physique depuis bien des années, la notion de rayon incident est-elle totalement inconnue. Il est vrai qu’étudier la réflexion sans connaître les symétries est assez difficile. Bref, nous avons là deux notions totalement inconnues des élèves dans un seul énoncé. C’est l’exception pédagogique française.

Mais comme d’habitude : des logiciels, des logiciels et encore des logiciels. Surtout éviter que les élèves français puissent développer la moindre capacité à calculer quoi que ce soit. La comparaison allemande se passe de tout commentaire. Quand aux élèves belges, l’existence du foyer résulte tout simplement de la définition de la parabole puisque l'on n’hésite pas en Belgique à donner la véritable définition de la parabole avec foyer et directrice et l’on en obtient l’équation après coup.

Manuels allemand et belge

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Nous nous trouvons donc en présence sur ce seul chapitre de la pathologie pédagogique propre à l’enseignement scientifique français. Comme le cours est vide, il n’y a pratiquement aucun exercice à faire en dehors des exercices d’application immédiate. Il est évidemment hors de question de corser ces exercices puisque l’on tombe alors dans les « excès de technicité » qui sont traqués dans les moindre recoins. Il ne reste donc plus qu’à saupoudrer les chapitres d’énoncés longs et compliqués, faisant sérieux et dont le contenu est totalement hors de porté d’un élève même brillant de lycée. Ces notions sont en effet, en général, vues en première, voire en deuxième année d’université. Comme ces exercices sont hors de portée, on les remplit d’usage de calculateurs et de tableurs, histoire d’y passer du temps et de se donner l’air de faire des études alors que l’on n’étudie rien. Le contenu quant à lui reste tout autant hors de porté.

L’effet obtenu par une telle pédagogie est que les élèves passent énormément de temps avant enfin d’arriver à l’objet du chapitre. Ainsi, pour ce qui concerne l’acquisition de connaissance, on passe beaucoup de temps pour très peu de pratique.

Pour le cas où l’on trouverait tout ceci encore bien sérieux, on trouve évidemment de quoi se rassurer et constater que « les maths c’est fun ». Alors titres humoristiques par-ci et mumuse par là. N’est-ce pas drôle les maths ?

Manuel français

On savourera dans la reproduction ci-dessus les fontaines de Versailles (je parlais plus haut de guide touristique, nous y sommes ). Le paragraphe « Mathématiques et astronomie » relève quant à lui de la fumisterie. Si l’on espère avec ça donner le goût des sciences... Il est tellement minimaliste qu’il est oublié aussitôt. On a également bien du mal à imaginer un élève se découvrant une folle passion pour la mécanique en lisant « seulement soumis à son poids la trajectoire d’un corps dans le plan est une parabole » d’autant que cette phrase n’a aucun sens. Que vient faire le plan R2 dans cette affaire.

Si l’on demande « que fait un corps soumis à son seul poid ? » la réponse naturelle est « il tombe ! » Nous avouons sans complexe avoir été obligé de relire trois fois cet énoncé avant de comprendre à quel phénomène physique il faisait allusion – vraisemblablement à une balle lancée en biais sur un plan incliné éventuellement un autre plan mais en aucun cas LE plan qui lui, en mathématiques désigne R2. Lorsqu’on écrit des mathématiques, il vaut mieux ne pas confondre la nature des articles: UNE solution ce n’est pas LA solution et un plan ce n’est pas LE plan !

Quand au dernier encadré, il relève des mathématiques Potemkine : un titre racoleur et du vide derrière. pourquoi « fameux ». Ce nombre n’a rien de fameux pour un élève de 1ere qui ne le connaît pas et n’en a jamais entendu parlé, où en aurait-il entendu parlé? Et bien sûr on se garde bien d’expliquer en quoi ce nombre d’or est intéressant ou de superposer la construction du dit nombre sur l’une des photos présentées, ce qui aurait été la seule chose pouvant éveiller la curiosité d’un élève. Non, non ! juste « il est là croyez moi sur parole »! Aucun intérêt pour un élève.

Le manuel Klett consacre, lui, deux pages à ce fameux nombre, sans titre racoleur, avec évidemment toutes les superpositions absentes des ouvrages français. Là-bas, on enseigne !

Ce n’est pas en cachant les choses intéressantes que l’on donne le goût des études! Faut-il s’étonner qu’en France les études soient terriblement ennuyeuses puisque l’on y retire tout ce qui présente un intérêt...

On a vu plus haut les pages allemandes concernant les paraboles; ci-dessous un extrait des pages belges sur les équations: Une autre galaxie ! Forcément, on y apprend quelque chose !

Manuel belge

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Bertrand Rungaldier